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圆来如此,新初三生可以这样学好数学(二)

典型例题分析2:

如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD丄PA,垂足为D.

(1)求证:CD为⊙O的切线;

(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.

圆来如此,新初三生可以这样学好数学,学霸都不会落下

 

解:(1)证明:连接OC,

∵点C在⊙O上,OA=OC,

∴∠OCA=∠OAC.

∵CD⊥PA,

∴∠CDA=90°,有∠CAD+∠DCA=90°.

∵AC平分∠PAE,

∴∠DAC=∠CAO.

∴∠DCO=∠DCA+∠ACD=∠DCA+CAO=∠DCA+∠DAC=90°.

又∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,

∴CD为⊙O的切线.

(2)过O作OF⊥AB,垂足为F,

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,

∴OC=FD,OF=CD.

∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6﹣x,

∵⊙O的直径为10,

∴DF=OC=5,

∴AF=5﹣x,

在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.

即(5﹣x)2+(6﹣x)2=25,

化简得x2﹣11x+18=0,

解得x=2或x=9.

由AD<DF,知0<x<5,故x=2,

从而AD=2,AF=5﹣2=3,

∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,

∴AB=2AF=6.

考点分析:

切线的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;垂径定理;证明题;几何综合题。

题干分析:

(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;

(2)过O作OF⊥AB,则OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5﹣x)2+(6﹣x)2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.

解题反思:

本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.

新一轮的中考数学复习又将开始了,回顾历年中考复习,我们学会将圆有关知识进行归类和整理,结合自身的实际学习情况,进行全面复习。如将关于圆在直线、角的顶点处、几何图形中的运动问题,通过问题背景、解决过程、反思过程等方式呈现出来,提炼解题方法。

 

典型例题分析3:

如图所示,在以O为圆心的两个同心圆中,小圆的半径为1,AB与小圆相切于点A,与大圆相交于点B,大圆的弦BC⊥AB于点B,过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D,连接OC交小圆于点E,连接BE、BO.

(1)求证:△AOB∽△BDC;

(2)设大圆的半径为x,CD的长为y:

①求y与x之间的函数关系式;

②当BE与小圆相切时,求x的值.

圆来如此,新初三生可以这样学好数学,学霸都不会落下

 

 

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圆来如此,新初三生可以这样学好数学,学霸都不会落下

 

考点分析:

切线的性质;勾股定理;垂径定理;相似三角形的判定与性质;综合题。

题干分析:

(1)由AB与小圆相切,CD与大圆相切,根据切线性质可得∠OAB与∠OCD相等,都为直角,又BC与AB垂直,根据垂直定义得到∠CBA与∠CBD都为直角,则∠1+∠OBC与∠2+∠OCB和都为90°,由OC=OB,根据“等边对等角”得到∠OBC=∠OCB,根据等角的余角相等,得到∠1=∠2,由两对对应角相等的两三角形相似得证;

(2)①过O作OF垂直于BC,由三个角都为直角的四边形为矩形得到ABOF为矩形,根据矩形的对边相等,得到FB=OA,由OA的长得到FB的长,又BC为大圆的弦,利用垂径定理得到BC=2BF,从而求出BC的长,在直角三角形OAB中,由OA=1,OB=x,利用勾股定理表示出AB,由(1)得到的三角形相似得比例,把相应的值代入即可得到y与x的关系式;

②当BE与小圆相切时,根据切线性质得到OE与BE垂直,由OE和OC表示出EC的长,根据切线长定理得到BE=BA,表示出EB,在直角三角形ECB中,由EC,EB及BC的长,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值.

解题反思:

此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理及垂径定理.遇到切线,连接圆心与切点,是常常连接的辅助线,借助图形,由切线的性质构造直角三角形,然后利用勾股定理解决问题.熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

近年来在全国各地的中考数学试题中,与有关圆的试题经常出现。此类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况,有利于培养同学们严谨的逻辑思维能力。

 

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